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之
那些年我们用过的K-12原版数学教材（下篇）
我们眼中的宝藏数学教材
如果您是第一次点开这个系列的文章，为减少歧义和误读，请务必首先移步阅读前两篇内容：
上篇回顾--我们亲测过的K-12原版数学教材中篇回顾--选择英文数学教材的5个基础维度
闲言少叙。下面就来正式介绍下我们目前正在使用的英文数学教材，也是在国外教育圈中小有名气的——。
的开发者，是一位名叫MariaMiller的芬兰籍数学老师，她同时也是一位从事在家教育多年的妈妈。Maria老师研究生阶段主修的便是数学专业，辅修物理学和统计学，有着极为扎实的数学理论基础和丰富多元的教学经验。20多年前，Maria老师在社区中辅导一些在家教育孩子的时候，看到了他们在数学学习上的挣扎。在她看来，一个主要的原因是，孩子们所使用的教材完全是按照学校模式下的去设计的。这样的教材，一旦离开了老师的讲解和展开，不仅显得机械乏味，更无法将一些重要的数学概念阐释清楚，帮助学生充分理解，乃至应用自如。
而且，这样的教材使得一些即使在数学方面比较擅长的孩子们，所学会的也仅仅是知识点的公式化套用，不但不明白背后的“Why-为什么要这么做”，也没有建立起他们在数学的领域里自我探索的兴趣。
这些显而易见的问题，以及Maria老师作为一位在家教育母亲的亲身经历，使她萌生了一股强烈的热情——去设计和创作一套适合于孩子们在家庭学习的场景下使用的，价格相对低廉的数学教材。
关于这套教材，Maria老师的一个基本目标就是——能够完全取代当初她在辅导那些学生的过程中常常要去做的事情——也就是，通过孩子们与教材本身的互动，不仅将小学数学中必要的概念阐释清楚，使他们真正理解数学原理背后的“Why为什么”，并且持续培养他们对于数学领域的兴趣、认识和能力基础，让数学学习逐步成为一种他们自发、自主，独立使用各种概念、技能、工具、资源，去自行提出问题和自行解决问题的，有意义的探索。
年中，的初版创作完成。在此后的17年时间里，Maria老师凭着纯粹的个人兴趣和教育热情，从未停止过对于这套教材的进一步开发和更新。根据来自全世界各个国家和地区的使用者对教材的反馈，Maria老师不断将新的思路、新的内容和方法加入进来，并阶段性的对教材的结构进行了系统的更新和改进。时至今日，已被全球超过50个国家和地区的家庭与学校广泛使用，成为数学教育领域，小学阶段的首选教材之一。其实，我们多年以前就曾听说过。但因为当时孩子还小，这套教材相对小众，身边并没有家庭使用，因此也就没有过多留意。要说真正的了解，则是始于两年前，妹妹在新加坡数学的使用中遇到障碍的时候。(关于这段寻求和思考的经历，请移步本系列的及。)正如前文中提到过的，新加坡数学哥哥用的顺手，到了妹妹这里却遇到了不小的困难。而我们发现，她抵触和挣扎的其中一个原因就是——教材所要求她去应用的一些数学概念，她尚未真正理解，后续的学习和应用的任务就已经摆在了面前，教材本身对此又几乎没有任何帮助（也就是说仅凭她自主学习，即使反复温习也难有大的改善），除非我们有每天持续的介入，否则她的学习就基本无法进行。
而且，不仅是教材学得稀里糊涂，练习册的内容安排更让她无比沮丧。渐渐的，学习数学，甚至本身，都越发成为一件对她来说特别痛苦的事情。如此的情况之下，我们不得不再次开始新教材的探索。也就在这个时候，一位有着十几年在家教育经验的美国妈妈，再次向我们推荐了。
于是，番茄妈第一时间去翻遍了国外的教育博客和论坛上对这套教材的讨论与评价，结果令她大喜过望——几乎所有的使用者，都对这套教材赞口不绝，其中更有不少案例，正是从新加坡数学或是MathUSee这样的主流教材切换过来的。
而这些案例最后的结果也很令人鼓舞——在切换到之后，无论曾经被人认为是多么厌恶数学的孩子，不擅长数学的孩子——居然都对数学产生了浓厚的兴趣。而这也是我们对于数学教材最为看重的一个属性。
除此之外我们还发现，虽然相对小众，但在类似于CathyDuffyReviews这样公认的教材专业评估网站上，其实一直是被强烈推荐的Top选择之一。最终，在番茄妈的各种调研，以及听取多位使用者的心得之后，我们下定决心全面转向，妹妹从二年级开始，哥哥开始四年级。
在随后这一年多的使用过程中，这套教材不断的带给我们出乎意料的惊喜。番茄妈时不时就会冲到我的面前兴奋的感慨一番，“太棒了啊，MathMammoth太棒了，你看看，这个概念是这样来教的，教的又细致又明白！妹妹一下子就明白了！”
经过这一年多的使用，已然赢得我们全家的心，毫无争议的成为了番茄兄妹小学阶段唯一的数学教材。接下来，我们就来对这一年多的评测体验做个总结，聊聊这套教材为什么适合我们家，以及我们认为其值得被推荐的：
NO.1一套专门为家庭学习设计的教材
首先，就是上文的介绍中提到过的，的初衷是为设计的。与传统的所设计的教材不同，在教育模式设计的背后，假设的是一个家庭学习的场景——不仅不是以教师为主，学习的进行也完全不依赖于专业教师的讲解。
在的设计框架中，一切学习所需的内容和练习，都是按照一种清晰可见的节奏依次展开的。这种节奏感上的精心设计，让孩子们每天翻开教材，就能明确的知道自己当天需要学习什么，以最快的速度进入学习状态——无需父母做任何提前的预备，也无论前一天的进度如何。
这绝对是一个完全出乎我们意料的惊喜。尤其是对于妹妹的学习来说。相对于妹妹此前所使用的教材，让她找到了数学学习中久违的乐趣和流畅感——这并非是因为的学习内容比其他教材简单浅显，而是得益于Maria老师在教材设计过程中，始终以一个在家教育妈妈的心态和经验，而不是一个“教材编委会”的认知——将每一个她认为可能会对孩子产生障碍的概念，都解释得清清楚楚，通通透透；又把不同学习之间的逻辑关系和先后次序，安排的十分合理。
而这也使得孩子们的大部分学习，都可以通过自主阅读去完成。即使孩子自己一时没有读懂，父母也可以直接把相应的内容读给孩子听（我们会将教材中的部分文字内容录制成音频，为英文基础不足够的家庭提供协助），通过简单的参与和陪伴，就能够很快帮助他们越过面前的障碍，重新找回节奏，顺利完成相应的学习和训练。
这样的过程，既不像我们当初使用RightStartMath那样，需要大量备课时间的投入；也不像使用新加坡数学的时候，因着教材中概念讲解的不足而让妹妹的学习一路举步维艰、磕磕绊绊。
这一年多的学习下来，番茄兄妹对数学概念和数学技能的掌握不仅有了长足的进步，而且学得既轻松又扎实，几乎再也听不到什么抱怨。反倒是，妹妹从一个“惧怕”数学、“抗拒”数学的孩子，转而常常来央求我：“爸爸爸爸，我今天可以多学一课MathMammoth么？”“我今天可以不做××，学MathMammoth么？”
NO.2适合母语非英语的家庭的另一大优点，就是非常适合于去使用。因为我们经常听到大家反馈，自己其实也往往会遇到的一个问题就是，即便父母的英语可以应对人际交流，甚至可以阅读自己熟悉领域内的论文专著，却未必知道各种数学概念和数学过程所对应的英文词汇与表述。更不要说在孩子学习遇到困难的时候，还要以英文去解释这些我们在中文里都已经有些生疏的概念和过程。
在这一点上，相比其他教材就友好太多了。我们几乎可以在教材中找到一切所需的，甚至是大部分国外教材都会默认为常识而不加解释的，各种碎片化的数学词汇。只要稍有英文阅读基础的父母，就能轻松的按照教材所提供的正确英文表述，为孩子做讲解，与他们做互动。
一方面，这完全是因为Maria老师个人从事在家教育的丰富经验；另一方面，也是因为Maria老师自己就来自于一个英语非母语的国家，并且长期旅居于世界各地。因此，不同于大部分英语为母语的开发者，为同样以英语为母语的学校和家庭去开发的教材，Maria老师对于英语非母语学习者的理解，使得在众多英文数学教材中显得格外的与众不同。
比如，一年级学到“大于”、“小于、“等于”等概念的时候，许多人或许都会一时想不起如何用英文来表述这些简单的数学符号。而多数面向英语为母语国家的教材，也都因为其过于简单，通常不会就英文中如何表述去给予任何提示。
但是，在中，我们第一次看到一本英文数学教材里贴心的为这个简单的符号注明了“=meansequals”,“means‘islessthan’”,“means‘isgreaterthan’”，并且写出了为孩子讲解时可以使用的例句，帮助我们用标准的英文表述告诉孩子：Sevenequalsseven.Sevenislessthaneight.Threeplusfourisgreaterthanfive.
在区别“”和“”两个符号时，Maria老师还插入了一个简单而有趣的教学。她在教材里告诉孩子们，可以去把这两个符号想像成一只鳄鱼的嘴巴，它总是要吃那个“更大的数”，所以哪边的数字更大，就把张大的嘴巴对准哪一边。类似于这样生动的讲解，孩子们不仅一次就能够记住，而且学的饶有趣味，常常要挂在嘴上，随时随地都想要找机会尝试应用。
再比如，二年级教材中“OrdinalNumbers”的学习。大部分人看到“OrdinalNumbers”恐怕都不知道是什么意思。没关系，教材特有的里都写得清清楚楚，能够英文自主阅读的孩子可以自己读懂，又或者，我们陪着孩子一起过一遍，不仅帮助他们理解，我们也跟着提高英文常识了。
怎么样，是不是忽然觉得用英文学数学，也没有那么让人畏惧了？
NO.3出众的教学法促使我们最终决定选择的另一个重要原因，是这套教材在教学法上的出众。首先，就内容结构的设计来说，是一套将MasteryApproach和SpiralApproach（也就是我们前文中提到过的“铺地砖”和“刷油漆”）巧妙结合起来的教材。
类似于新加坡数学，很注重数学概念的学习，以及从实物到图形再到抽象符号的建立过程。在心算训练和数学策略的培养上，也与新加坡数学不相上下，有过之而无不及。
并且，的所有文字题，都有意识的采用了图表化的方式去呈现。这种数与形、数与表之间的关联和转换，会在不知不觉中，为孩子建立起基础的数据分析和数据处理能力。在这方面的训练上，有着非常鲜明的特点和与众不同的侧重。
另一方面，相对于一些特点类似的教材，不仅讲解更加清晰透彻，而且进度更为柔和。每一个新概念，每一个新策略，都配有一系列循序渐进的系统练习，并在随后的学习中设置了类似于SpiralApproach的复习回顾，令整个阶段的学习都足够扎实。
许多人可能都无法体会这中间的技术含量。一个人或许在数学上有许多造诣，自己对数学也有足够的钻研和领悟，掌握了丰富的数学知识和技能——却未必能把数学好。因为，和并不是一回事，更不能混为一谈。相对于专家们的高论，更需要的是将深奥的构思和美好的理想去春风化雨，是点点滴滴、脚踏实地的落实，和扶上马、送一程的手把手帮助。
说到这里，作为同样正在开发课程内容的我和番茄妈，实在忍不住要借此表达一下我们对Maria老师的敬佩之情——她基本上是以一己之力，独立开发了这套教材，却在内容的完整度、系统性和各种教育模式与教学法的平衡上，胜过绝大部分我们见过的，由知名机构出版的教材。
在教学法上的另一个过人之处，是在概念导入的过程中，对于帮助孩子理解“Why-这么做的原因是什么”的重视。也就是，这套教材所致力于教给孩子的，不是机械的解题方法和技巧，也不是深奥数学概念的堆砌，而是手把手的、实实在在的去帮助孩子们认识什么是数学，充分理解和掌握数学领域的各种基本原理和思维方式，引导他们思考背后的“为什么”，鼓励他们去探索多种解决问题的方法，尽可能拓宽他们思考的维度。
比如，在讲到初级心算的时候，教材从思考的策略（而不是解题的方法）上给出了四种不同的角度，并且在每个策略下面提供出相应的练习，以便孩子们去尝试应用：
再比如，番茄妹妹一度对于有小数点、需要借位的减法，常常会做出10-8.3=2.7这样的结果。我按照我们当年在学校中学习的方法列竖式10.0-8.3给她解释，她也还是似懂非懂。来看看是如何帮助我们理清思路，让妹妹一次就弄明白的：
既简单，又直观，而且让孩子对于“小数”的概念，有了根植于现实生活的具体理解，是不是就很难忘记了？
NO.4适合孩子自主学习经过以上三点的介绍，这个结论其实已经是呼之欲出了。由于每个章节的教学内容，都会在章节的一开始作系统的讲解，因此，只要孩子已经建立起足够的英文阅读能力（如果在学前接触过一些英文数学启蒙类内容还会更加得心应手），就能基本无障碍的自主理解每一课的内容，独立完成并持续推进教材中所有学习和训练的过程。
番茄哥哥是从四年级开始使用的，妹妹则是在二年级。自从使用至今，他们的数学学习基本都是自学。只有在遇到不理解的概念，或问题较为困难的时候，才会来找我们寻求帮助。除了定期对照答案册批改练习作业，并按照错题帮助他们回顾教学部分的内容，协助他们重新思考和分析，几乎不需要我们再付出任何额外的时间。
就我们目前为止的经验而言，对于3年级以上的孩子，批改作业不需要进行的过于频繁。只要孩子的学习进度是正常有序的，我们通常3-4天才会批改一次。除非孩子在某个阶段的学习中出现大量的错误（目前暂时还没有遇到过），否则就应有意识的保持相对稳定的节奏，以便孩子形成长期持续的学习习惯。当然，如果孩子年幼，英文基础有欠缺，或者是刚刚开始接触数学，则建议当天的问题当天解决。
由于在学习进度和难度上安排的相当合理，即使像番茄哥哥这样在数学学习中上手较快的孩子，也不会觉得内容枯燥沉闷，或是繁琐重复。而起初对数学有所恐惧的妹妹，则更是在顺畅自如的使用和趣味十足的学习体验中倍受鼓舞，越来越享受学习的过程。
NO.5内容有深度有广度，且紧密联系生活我们在这一点上的体会是，在涵盖内容的深度和广度上，要远远超过市面上绝大多数的数学教材。我们对芬兰的教育了解并不多（朋友圈那些以讹传讹的小道消息就表提了），所以始终有些感到神奇的是，一位芬兰作者开发的数学教材，居然有着很强烈的，与亚洲数学类似的严谨与巧思，以及足量的心算和笔算训练。
与此同时，又带有鲜明的、欧美数学的特征，不仅相当注重概念的实用和拓展，而且随时随地的涵盖生活中与数学相关的概念，例如时钟、日历、货币、度量衡、图表等等等等，有意识的帮助孩子们将数学与现实生活联系起来。
这应该是大部分从国内教育体系中走出来的父母们都会钟爱的一个特点。我们当年在学校里学习了许多有关数学的“知识”和“规则”，却并没有理解数学是什么（当初的老师们，恐怕多半也不明白）。
在那些漫长的日子里，我们日复一日的做了许多繁琐的数学运算，却并不真的知道“数学与我们有什么关系，对我们今后的生活意味着什么”。即使是数学上有天赋的孩子，也往往空有数学这门学科的，却没有多少在数学领域中探索、思考、表述和解决问题的。
我们协助孩子们使用的时候，往往有类似的感慨。比如，在学习厘米/米/千米的时候，会首先鼓励孩子去动手测量，要求孩子独立思考这些度量衡单位在生活中是如何使用的，从直观的认识再到独立自主的理解，而非简单机械的告知。（为了这个问题，我们特地带妹妹研究了地图，在家里测量了各种物件的尺寸，让她深刻理解了这些度量衡单位的设置背后有着怎样的逻辑。）
再比如，在学习克/千克的时候，所训练孩子的，不是程式化的加减乘除，而是“如何去独立使用一个体重秤，读出自己的体重，并记录下正确规范的数据”？
再比如学习认识时间、计算时间。如果孤立的教导这样的内容，孩子并不会有许多体会，也很难保持兴趣。但倘若是用来“计算一场比赛的结束时间”，“计算飞机飞行的时间”，在安排行程的时候去“查找最合适的大巴时间”，孩子的体会就很不一样了。
类似的生活应用教材中还有许多。我个人认为，正是这个看似大家都想得到，似乎也很普遍的做法（将数学学习与实际生活充分结合），使得孩子们真正开始对数学产生了浓厚的兴趣。这样的观念或许每个教材开发者，每位老师，甚至每位家长都有过，但能够把观念很好的贯彻到学习过程中，是我目前见过最出色的一个。
除了主线的教学内容，教材中许多章节的最后，还附有一个拓展的PuzzleCorner。就是这样一个小小的安排，现在也已俨然成为兄妹俩每天数学课上的最爱。由于哥哥是从四年级才开始使用，没有见识过二年级的教材，当他第一次看到妹妹玩得兴高采烈的样子，就忍不住赶紧过去一起凑热闹。如今，妹妹每次做到PuzzleCorner，都一定要叫上哥哥，两人一起做的兴致十足，相谈甚欢。而这正是我们一直期待，在数学学习中常常去发生的事情。
NO.6配套的教学视频
精心整理的拓展练习
这可以说是一个大大的福利。或者说，是一个拥有17年历史的教材天然的优势。在多年客服互动和线下教学的过程中，Maria老师针对教材中每个单元的内容，也根据大家的需求和反馈，陆续为其中的重点和难点概念录制了大量的教学视频。
而为了能够使孩子们更好的掌握要点，教材的每个单元之后，还设置了多个额外的拓展练习，让孩子们可以通过更多维度的学习，去加深对于所学概念的认识。
比如，关于Clock的单元，教材中就列出了将近三页，超过二十个在线练习和游戏，并且可以通过扫描
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